پایان نامه آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه تحت اثر بار زلزله با استفاده از روش المان محدود با مرز مقیاس شده

پایان نامه‌ی کارشناسی ارشد رشته‌ی مهندسی عمران گرایش مکانیک خاک و پی

شهریور ماه 1390

چکیده: آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه (به علت اثر متقابل سازه و خاک نگهدارنده آن بر یکدیگر)، در طراحی سازه تحت بار لرزه­ای نقشی اساسی دارد. سیستم خاک-سازه می­تواند تحت بارهای دینامیکی و استاتیکی قرار بگیرد. در حالت بارگذاری استاتیکی می­توان محیط نامحدود خاک را محدود کرد، به طوری که مرزها را به اندازه کافی دور از سازه در نظر گرفت. اما در حالت بارگذاری دینامیکی این روش نمی­تواند مورد استفاده قرار بگیرد، چون مرزها به جای اینکه اجازه دهند امواج دریافتی از منبع انتشار امواج به سمت بی­نهایت عبور کنند، آنها را به سمت سازه و خاک منعکس می­کنند (برگشت می­دهند) و این انعکاس بر روی رفتار و واکنش سیستم خاک-سازه تأثیر می­گذارد. بنابراین برای آنالیز این اندرکنش خاک-سازه، خاک به قسمت خاک محدود منظم که می­تواند رفتار غیر خطی خاک را مدل کند و قسمت نامحدود منظم که تا بی­نهایت ادامه دارد، تقسیم می­شود. قسمت محدود خاک می­تواند به وسیله روش المان محدود مدل شود. در یک محیط نامحدود، یک قاعده مهم در دینامیک امواج وجود دارد: امواجی که به سمت بی­نهایت حرکت می­کنند، به سمت حوزه برگشت داده نمی­شوند. شرایط مرزی باید توانایی مدل کردن حرکت موج را در واقعیت داشته باشد.

یک شرط مرزی با درجه بالا برای مدل کردن انتشار موج در حوزه نا­محدود تحت بار لرزه­های توسعه داده شده است. این شرط مرزی برای امواج اسکالر و برداری با هندسه دلخواه و مواد غیر همگن قابل کاربرد است. فرمولاسیون بر حسب حل شکاف ممتد در تجزیه ماتریس سختی دینامیکی برای حوزه نا­محدود به کار می­رود. ماتریس ضرائب روش شکاف ممتد به صورت بازگشتی از معادله روش المان محدود با مرز مقیاس شده بر حسب سختی دینامیکی بدست آمده است که می­تواند به صورت یکپارچه با المان محدود ترکیب شود. روش­های استاندارد در دینامیک سازه­ها به صورت مستقیم برای بدست آوردن پاسخ در حوزه­های زمان و فرکانس قابل کاربرد می­باشد. مثال­های عددی و تحلیلی نرخ بالای همگرایی و بازده این شرط مرزی با درجه بالا را نشان می­دهد. در این پایان نامه برای اولین بار آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه تحت بارهای لرزه­ای با استفاده از حل شکاف ممتد و آنالیز مودال (با استفاده از توابع پایه کاهش یافته) توسعه یافته است.

مقدمه

فصل اول

1-1-   تعریف مسئله

در یک سیستم خاک - سازه واقع در یک محیط نیمه نامحدود، حجم خاک در برابر حجم سازه بسیار بیشتر می­باشد پس به طور کلی، سازه با خاک اطرافش اندرکنش دارد. بدین معنی که رفتار هریک بر دیگری اثر دارد. بنابراین آنالیز سازه به تنهایی مجاز نمی­باشد و در بسیاری از حالات مهم (به عنوان مثال، نوسانات لرزه­ای) که بارگذاری به خاک اطراف سازه وارد می­شود باید اثر خاک در نظر گرفته شود به این معنا که در هر صورت حوزه اطراف سازه باید مدل شود. از آنجاکه اندرکنش لرزه­ای خاک و سازه با ایمن سازی بسیاری از پروژه­های مهندسی (مانند نیروگاه­های هسته­ای) درجهت مقاومت در برابر زلزله ارتباط تنگاتنگ دارد، این اندرکنش یک موضوع بسیار مهم در مهندسی زلزله تلقی شده است. همچنین به علت تأثیر بازتاب انرژی از محیط نامحدود و حرکات غیر یکنواخت زمین روی پاسخ سازه، اهمیت اندرکنش دینامیکی خاک و سازه در رفتار سازه­های غول­پیکر در برابر زلزله قابل توجه می­باشد.

همانطورکه در شکل 1- 1 می­بینیم، خاک یک محیط نیمه نامحدود است که به صورت حوزه نامحدود در نظر گرفته می­شود. خاک محدود و نامحدود توسط مرز مشترک خاک – سازه (شکل 1- 1) از یکدیگر جدا می­شوند. مرز مصنوعی (شکل 1- 1) در فاصله­ای به اندازه کافی دور از سازه، جایی که انتظار می­رود پاسخ حوزه مستهلک شود، معرفی و شرایط مرزی مناسب بر روی آن تعریف می­شود. بسته به دقت آنالیز، این مرز می­تواند دورتر و یا نزدیک­تر به سازه تعریف شود. گره­های موجود بر روی سازه با s و گره­های موجود بر روی مرز مشترک خاک و سازه با b نشان داده می­شود. بارگذاری دینامیکی می­تواند به صورت بار خارجی و یا بار لرزه­ای به سیستم وارد شود (شکل 1- 1).

سیستم خاک و سازه می­تواند تحت بارهای دینامیکی و استاتیکی قرار بگیرد. برای آنالیز پاسخ سازه تحت بارگذاری استاتیکی، همانطورکه گفته شد، یک مرز مصنوعی می­تواند در یک فاصله به اندازه کافی دور از سازه، جایی که انتظار می­رود پاسخ حوزه مستهلک شود، معرفی شود. این کار به یک محیط محدود برای خاک منجر می­شود که می­تواند مانند سازه مدل شود. کل سیستم المان­بندی شده، شامل خاک و سازه توسط روش­های المان محدود و یا تفاضل محدود مدل می­شود و با توسعه و پیشرفت نرم­افزارهای المان محدود می­توان به راحتی مسئله محدود را آنالیز کرد. اما در حالت بارگذاری دینامیکی این روش نمی­تواند مورد استفاده قرار بگیرد، چون مرزهای مصنوعی به جای اینکه اجازه دهند امواج دریافتی از منبع انتشار امواج به سمت بی­نهایت عبور کنند، آنها را به سمت سازه و خاک منعکس می­کنند (برگشت می­دهند) و این انعکاس بر روی رفتار و واکنش سیستم خاک و سازه تأثیر می­گذارد. در صورتی که خاک نامحدود بایستی نقش یک مکنده انرژی[1] را بازی کند. بنابراین برای آنالیز این اندرکنش خاک - سازه، خاک به دو قسمت خاک محدود غیر منظم که می­تواند رفتار غیر خطی خاک را مدل کند و خاک نامحدود منظم که تا بی­نهایت ادامه دارد و دارای رفتارخطی است، تقسیم می­شود. بنابراین همانطور که در شکل 1- 1 ملاحظه می­کنید می­توان خاک را به دو قسمت تقسیم کرد:

 محدوده نزدیک به سازه، خاک نامنظم با رفتار غیرخطی با عنوان حوزه محدود

 محدوده دور از سازه، خاک منظم و با رفتار خطی با عنوان حوزه نا­محدود

قسمت محدود خاک می­تواند به وسیله روش المان محدود مدل شود. در یک محیط نامحدود، یک قاعده مهم در دینامیک امواج وجود دارد: امواجی که به سمت بی­نهایت حرکت می­کنند، به سمت حوزه برگشت داده نمی­شوند. شرایط مرزی باید توانایی مدل کردن حرکت موج را در واقعیت داشته باشد. شرط به صفر رساندن جابجایی در بی­نهایت کافی نمی­باشد] [i][. شرط مرزی اعمال شده در بی­نهایت، باید توانایی انتقال انرژی را به صورت کامل از حوزه محدود به حوزه نا­محدود را داشته باشد و بتواند جلوی بازتابش امواجی که با مرز تماس پیدا می­کنند را به درون محیط بگیرد. به این شرط مرزی، شرط مرزی بازتابشی[2] می­گویند. چالشی­ترین قسمت در آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه، بدست آوردن شرایط مرزی بازتابشی مناسب برای مسائل مهندسی با ابعاد بزرگ می­باشد. حوزه خاک نامحدود را می­توان طوری مدل کرد که دینامیک خاک را از دینامیک سازه کاملا̎ مجزا کند. برای درک بهتر موضوع، انتشار موج در یک حوزه نا­محدود یک بعدی به صورت زیر آورده شده است. در یک مدل واقعی، با اعمال نیروی دینامیکی (نیروی ضربه R) در ابتدای میله (نقطه A)، حرکت موج از ابتدای میله آغاز می­شود و تا بی­نهایت پیش رفته و میرا می­شود (شکل 1-2 (الف)). برای مدل کردن این حالت میله بریده شده ودر محل بریدگی مهار قرار داده می­شود. با شروع حرکت موج و برخورد آن به مهار موجود، موج برگشت داده می­شود. تا زمانی که موج برگشت داده شده به نقطه ابتدا (نقطه A) نرسیده است، رفتار نقطه A مشابه واقعیت است و از زمان رسیدن موج به آن نقطه، رفتار نقطه A به هم می­ریزد (شکل 1-2 (ب)). در خاک نا­محدود نیز رفتار چنین است. مدل باید به گونه­ای باشد که موج به سمت بی­نهایت هدایت شود و به سمت سازه باز نگردد.

بنابراین مشکل در مدل کردن اندرکنش دینامیکی خاک و سازه در نرم­افزارهای المان محدود می­باشد

که به دلایلی که ذکر شد قابلیت آنالیز صحیح رفتار دینامیکی حوزه نامحدود را ندارند. ما بدنبال راهی هستیم تا بتوان مدلی نزدیک به واقعیت، برای آنالیز دینامیکی حوزه نامحدود تحت بار لرزه­ای را عنوان کرد و نیز به دنبال روشی هستیم که هرچه مطمئن­تر و سریع­تر با بازده و دقت زیاد ما را به هدف مورد نظر نزدیک کند.

1-2-   مفهوم اندرکنش دینامیکی خاک وسازه

برای بیان اهمیت اندرکنش خاک و سازه، پاسخ دینامیکی سازه­ای که روی سنگ بنا شده را با همان سازه در حالتی که روی خاک بنا شده مقایسه شده است. در اینجا تنها موضوع به صورت کیفی بررسی می­شود. دو سازه به صورت کاملا̎ یکسان با بستر صلب (شامل پایه و دیواره­های اطراف) در شکل 1- 3 (الف) نشان داده شده است. لایه خاک در بالای سنگ قرار گرفته است. از آنجا که فاصله بین دو سازه کم است، می توان فرض کرد موجی که از کانون زلزله به دو سازه مستقر روی خاک و سنگ
می­رسد، یکسان است. برای سادگی یک حرکت افقی که به صورت عمودی گسترش می­یابد، انتخاب شده است. این حرکات در به صورت بردار هایی با طول­هایی متناسب با شدت نوسانات زلزله آورده شده است. نقطه کنترل در سطح آزاد سنگ (نقطه A) انتخاب شده است. از یک دیدگاه عملی حرکت در سراسر سنگ (به عنوان مثال در نقطه B) یکسان خواهد بود ]1[.

برای سازه روی سنگ، این حرکت افقی می-تواند مستقیما̎ به بستر سازه وارد شود. شتاب ورودی ناشی از نیروهای اینرسی افقی در ارتفاع سازه ثابت خواهد بود. در حین زلزله، یک لنگر واژگونی و یک برش عرضی در بستر ایجاد می­شود. از آنجا که سنگ بسیار سخت است، این دو بردار برآیند تنش هیچ تغییر شکل اضافی را در بستر ایجاد نمی­کند. بنابراین جابجایی­های افقی بستر با جابجایی نقطه کنترل برابر است. هیچ جابجایی ناشی از سنگ در بستر بوجود نیامده است. برای یک نقطه کنترل، پاسخ لرزه­ای سازه تنها به خصوصیات سازه بستگی دارد.

برای سازه مستقر روی خاک، حرکت بستر مربوط به سازه در نقطه O (شکل 1- 3 (الف))، با حرکت کنترل در نقطه کنترل A به دلیل سیستم اندرکنش خاک و سازه متفاوت است، برای اینکه بدانیم چگونه خاک روی پاسخ دینامیکی سازه تأثیر می­گذارد، کافیست سه اثر زیر را تشخیص دهیم.

اول، حرکت زمین در حالتی که نه سازه و نه حفاری موجود نباشد، پاسخ حوزه آزاد نام دارد (شکل 1- 3 (ج)). اگر هیچ خاکی در بالای سنگ در نقطه C در شکل 1- 3 (ج) نباشد، حرکت موهومی در سنگ در شکل 1- 3 (ب) با حرکت سنگ در نقطه A کاملا̎ متفاوت است. وجود خاک حرکت نقطه C را کاهش می­دهد (شکل 1- 3 (ج)). این موج به صورت عمودی در لایه خاک منتشر می­شود، در نتیجه حرکت در نقاط D و E با حرکت در نقطهC  متفاوت است (شکل 1- 3 (ج)). زمانی که سازه ساخته شد، نقاط D و E در حوزه آزاد متعاقبا̎ روی مرز مشترک خاک و سازه (بستر) قرار خواهند گرفت. به طور کلی حرکت تشدید می­شود، اما نه همیشه، به فرکانس امواج بستگی دارد. نتیجه حرکات افقی می­باشد که با نزدیک شدن به سطح زمین افزایش می­یابند.

دوم، حفاری و قرار دادن بستر صلب در محل، حرکت را تصحیح می­کند (شکل 1- 3 (د)). بستر صلب یک مولفه پیچش و یک جابجایی متوسط را تجربه می­کند. حرکت جسم صلب در مقایسه با شتاب­های اعمال شده در حالت سازه مستقر روی خاک، شتاب هایی را نتیجه می­دهد و به نیروهای اینرسی منجر می­شود که در ارتفاع سازه تغییر خواهد کرد. این متوسط گیری هندسی حرکت لرزه­ای ورودی نتیجه قسمت آنالیز اندر کنش دینامیکی خواهد بود.

سوم نیروهای اینرسی وارد شده بر سازه به یک لنگر واژگونی و یک برش عرضی وارد بر نقطه O منجر خواهد شد (شکل 1- 3 (ه)). این باعث تغییر شکل­ها در خاک و حرکت در بستر را تصحیح می­کند. ازین به بعد این قسمت آنالیز اندرکنش استاتیکی نامیده می­شود.

شکل 1- 3 اثرات در نظر گرفتن اندرکنش خاک و سازه را نشان می­دهد. اول حرکت ورودی لرزه­ای وارد بر سیستم اندرکنش خاک و سازه تغییر خواهد کرد (شکل 1- 3 (د)). بدلیل تقویت حوزه (پاسخ حوزه آزاد)، مولفه انتقالی در بسیاری از حالات از حرکت نقطه کنترل بزرگتر می­باشد، در مجموع، یک مولفه مهم حرکت برای یک سازه مدفون بوجود خواهد آمد. هر مولفه فرکانس حرکت به صورت متفاوت تحت تأثیر قرار می­گیرد، در نتیجه، برای مثال، یک تاریخچه زمانی شتاب کاملا̎ با حرکت نقطه کنترل متفاوت است.

1-3-   روش­های تحلیل اندرکنش خاک و سازه

در آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه، حوزه محدود می­تواند توسط روش المان محدود مدل شود. برای مدل کردن حوزه نامحدود شرایط بازتابشی باید در بی­نهایت ارضا شود. یک روش معمول در آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه این است که مرز مصنوعی در اطراف سازه در فاصله محدودی معرفی شود. شرایط مرزی خاصی که شرایط بازتابشی را در بی­نهایت ارضا می کند بر روی مرز مصنوعی تعریف می­شود. این شرایط مرزی با معادله حرکت حوزه محدود که با المان محدود مدل شده است، ترکیب می­شود. برای رسیدن به این هدف و در نهایت برای آنالیز اندرکنش دینامیکی خاک و سازه دو روش وجود دارد: روش زیرسازه[3] و روش مستقیم[4]

1-3-1-        روش زیرسازه:

این روش نسبت به روش مستقیم روش دقیق­تری می­باشد. در این روش مرز مصنوعی می­تواند در نزدیک­ترین موقعیت نسبت به سازه، یعنی حتی بر روی مرز مشترک خاک و سازه منطبق شود (شکل 1- 4). در این روش کل سیستم به یک سری زیر سازه­های ساده­تر تقسیم می­شود و سپس هر کدام جداگانه تحلیل شده و در مرحله آخر با استفاده از اصل جمع آثار قوا، نتایج با هم ترکیب می­شوند. زیرسازه حوزه محدود (شکل 1- 4 (الف)) و زیرسازه حوزه نامحدود (شکل 1- 4 (ب)).به صورت مستقل مدل می­شود. المان­بندی بر روی مرز مشترک خاک و سازه در هر دو زیرسازه سازگار و یکسان می­باشد. به علت استفاده از اصل برهم نهی، رفتار خاک خطی در نظر گرفته می­شود.

همانطور که در شکل 1- 4 نشان داده شده است، ابتدا کل سیستم توسط یک مرز مصنوعی به دو زیر سازه تقسیم می­شود. زیر سازه اول شامل سازه و خاک محدود اطراف آن می­باشد و می­توان آن را با استفاده از روش المان محدود به راحتی مدل کرد. زیر سازه دوم شامل حوزه نامحدود خاک است. به دلیل نامحدود بودن این ناحیه نمی­توان از روش المان محدود استفاده کرد. برای تحلیل محیط نامحدود روش­های مختلفی وجود دارد که در بخش بعدی توضیح داده می­شود.

ابعاد ناحیه محدود تأثیری بر نتایج آنالیز نخواهد داشت، اما معمولاً این ناحیه تا سطح مشترک خاک و سازه تعریف می­شود. تأثیر محیط نامحدود نیز به صورت شرایط مرزی دقیق در مرز مصنوعی اعمال می­شود. این شرایط مرزی در حقیقت همان روابط اندرکنش نیرو- جابجایی درسطح مشترک ناحیه محدود و نامحدود هستند و مشخص کننده شرط بازتابشی در بی­نهایت می­باشند. در روش زیرسازه این شرط مرزی پیچیده می­باشد.

خصوصیت دینامیکی یک حوزه نامحدود می­تواند توسط یک رابطه نیرو-جابجایی که بر روی مرز مشترک خاک و سازه تنظیم شده و شرایط بازتابشی را در بی­نهایت ارضا کرده، بیان شود. این رابطه با رابطه زیرسازه حوزه محدود بر روی مرز مشترک خاک و سازه ترکیب شده و به معادله حاکم کل سیستم دینامیکی منجر می­شود (شکل 1- 4 (الف)). پس این حالت می­تواند یک شرط مرزی برای زیرسازه حوزه محدود در نظر گرفته شود.

Abstract: Dynamic structure-foundation interaction analysis plays an important role in the design and safety assessment of seismic structures, especially for large-scale spatial structures, such as dams, nuclear power plants, high-rise buildings and bridges, etc. To model the effect of wave propagation in unbounded foundation, a large number of numerical methods have been developed in this area. These approaches are classified as two broad categories: global and local procedures. Global procedures are divided into sub-sections presenting the boundary element method, thin layer method, exact non-reflecting boundary conditions and the scaled boundary finite-element method. Local procedures are grouped as transmitting boundary conditions, infinite elements and absorbing layers.

The novel scaled boundary finite-element method is a fundamental solution-less boundary-element method based on finite element technology, which combines the advantages of finite-element and boundary-element methods. Only the boundary is discretized, no fundamental solution is required, the radiation condition at the infinity is rigorously satisfied. It is the goal of this thesis to extend a newly developed high-order local transmitting boundary for modelling unbounded domains to the soil-structure interaction analysis under seismic loads. The formulation is based on a continued-fraction solution of the dynamic-stiffness matrix of an unbounded domain. The solution converges rapidly over the whole frequency range as the order of the continued fraction increases. The force–displacement relationship corresponding to the continued fraction is formulated as an equation of motion with symmetric frequency-independent coefficient matrices. The computationally expensive task of evaluating convolution integrals is circumvented. Seamless coupling with the finite elements is straightforward. Standard procedures in structural dynamics are applied to perform frequency and time-domain analyses. Having detailed the formulation for the continued-fraction based solution for modelling unbounded domains and its coupling with the equation of motion of structures under seismic loadings, several examples are presented to demonstrate the simplicity, applicability, efficiency and accuracy of the new developments for the scaled boundary finite-element method in modelling the soil-structure interaction problems. The spatially local formulation is achieved by applying the technique of the reduced set of base functions for modelling unbounded domains. The results obtained from the scaled boundary finite-element method are compared with those obtained from the commercial finite-element software SAP. Excellent agreement is achieved. 

منابع [[1]]. Wolf, J. P. (1985). “Dynamic Soil-Structure Interaction.” Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

[[1]]. Wolf, J. P. and Song, C. (1996). “Finite-Element Modelling of Unbounded Media. ” John. Wiley & Sons, Chichester.

[[1]].Bazyar, M. H. (2007). Dynamic soil-structure interaction analysis using the scaled boundary finite-element method, Ph.D thesis, The University of New south Wales, Sydney, Australia.

[[1]]. Wolf, J. P. (1985). Dynamic Soil-Structure Interaction. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.

[[1]]. Brebbia, C. A., Telles, J. C. F., and Wrobel, L. C. (1984). Boundary Element Techniques. Springer-Verlag.

[[1]]. Beskos, D. E. (1987). Boundary element methods in dynamic analysis. Applied Mechanics Reviews, ASME, 40:1-23.

[[1]]. Hall, W. S. and Oliveto, G. (2003). Boundary Element Methods for Soil-Structure Interaction. Kluwer Academic Publishers.

[[1]]. Luco, J. E. and Westmann, R. A. (1971). Dynamic response of circular foundations. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 97:1381–1395.

[[1]]. Wong, H. L. and Luco, J. E. (1976). Dynamic response of rigid foundations of arbitrary shape. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 4:579.586.

[[1]]. Dominguez, J. (1978). Dynamic stiffness of rectangular foundations. Research Report R78-20, Dept. Civ. Engrg., Massachusetts Inst. of Tech., Cambridge, Mass.

[[1]]. Wang YP., Rajapakse RKND. (1991). "Dynamic of rigid strip foundations embedded in orthotropic elastic soils." Earthquake Engineering and Structural Dynamics.,Vol. 20, pp. 927– 947.

[[1]]. Vrettos Ch. (1999). "Vertical and rocking impedance for rigid rectangular foundations on soils with bounded nonhomogeneity." Earthquake Engineering and Structural Dynamics.,Vol. 28, pp. 1525–1540.

[[1]]. Wang YP., Rajapakse RKND. (2000). "BE analysis of rigid foundations embedded in transversely isotropic soils."Journal of the Chinese Institute of Engineering., Vol. 23(3), pp. 275–288.

[[1]]. Lysmer J. (1970). "Lumped mass method for Rayleigh waves. "Bull Seismol Soc Am., Vol. 60(1), pp. 89–104.

[[1]]. Waas G. (1972). "Linear two-dimensional analysis of soil dynamic problems in semi-infinite layer media", Ph.D. thesis, University of California, Berkeley.

[[1] ]. Drake LA. (1972). "Love and Rayleigh waves in non-horizontally layered media." Bull Seismol Soc Am., Vol. 62(5), pp. 1241–58.

[[1]]. Drake LA. (1972). "Rayleigh waves at a continental boundary by the finite element method. "Bull Seismol Soc Am, Vol. 62(5), pp. 1259–68.

[[1]]. Kausel E, Roesset JM.  (1977). "Semi-analytical hyperelement for layered strata. "J Eng Mech, ASCE , Vol. 103(4), pp. 569–88.

[[1]].  Lysmer J, Waas G. (1972) "Shear waves in plane infinite structures. "J Eng Mech, ASCE , Vol. 98, pp. 85–105.

[[1]]. Kausel E, Peek R. (1982). "Dynamic loads in the interior of a layered stratum: An explicit solution. "Bull Seismol Soc Am . Vol. 72(5), pp. 1459–81.

[[1]]. Kausel E. "Dynamic point sources in laminated media via the thin-layer method." Int J Solids Struct , Vol. 36, pp. 4725–42.

[[1]].  Kausel E, Peek R. (1982). "Boundary integral method for stratified soils. " Department of Civil Engineering, MIT, Cambridge.

[[1]]. Lonny L. Thompson , Runnong Huan. ( 1998). "Implementation of exact non-reflecting boundary conditions in the finite element method for the time-dependent wave equation." Department of Mechanical Engineering, Clemson University, Clemson, SC 29634.

[[1]]. D. Givoli. (1992). " Numerical Methods for Problems in Infinite Domains", Elsevier Science Publishers, Amsterdam.

[[1]]. M.J. Grote, J.B. Keller. (1995). "Exact NRBC for the time dependent wave equation. ", SIAM J. Appl. Math., Vol. 55, pp. 280-297.

[[1]]. Doherty J., Deeks A. (2003) "Elastic response of circular footings embedded in a non-homogeneous half-space. "Geotechnique., Vol. 53(8), pp. 703–714.

[[1]]. Doherty J., Deeks A. (2003). "Scaled boundary finite-element analysis of a non-homogeneous elastic halfspace. "International Journal for Numerical Methods in Engineering., Vol. 57, pp. 955– 973.

[[1]]. Deeks, A. J. and Augrade, C. E. (2005). A meshless local Petrov-Galerkin scaled boundary method. Computational Mechanics, 36:159.170.

[[1]]. Deeks, A. J. and Augrade, C. E. (2007). A hybrid meshless local Petrov-Galerkin method for unbounded domains. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 196:843.852.

[[1]]. M. H. Bazyar., Chongmin Song. (2006). "Time-harmonic response of non-homogeneous elastic unbounded domains using the scaled boundary finite-element method. " Earthquake Engineering and Structural Dynamics., Vol. 35, pp. 357–383.

[[1]]. M. H. Bazyar., Chongmin Song. (2006). "Transient analysis of wave propagations in non-homogeneous elastic unbounded domains by using the scaled boundary finite-element method." Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 35, pp. 1787–1806.

[[1]]. Vu, T. H. and Deeks, A. J. (2006). Use of higher-order shape functions in the scaled boundary finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 65:1714.1733. Waas,

[[1]]. Hassanen, M. and El-Hamalawi, A. (2007). Two-dimensional development of the dynamic coupled consolidation scaled boundary _nite-element method for fully saturated soils. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, page in press.

[[1]]. Yang, Z. J., Deeks, A. J., and Hao, H. (2007). A Frobenius solution to the scaled boundary finite-element equations in frequency domain for bounded media. International Journal for Numerical Methods in Engineering, page in press.

[[1]]. Suriyon Prempramote, Mohammad H. Bazyar, Chongmin Song. (2007). "A Direct Procedure for the Transient Analysis of Dynamic Soil-Structure Interaction Problems." APCOM’07 in conjunction with EPMESC XI, Kyoto, JAPAN

[[1]]. Chongmin Song, Mohammad Hossein Bazyar. (2008). "Development of a fundamental-solution-less boundary element method for exterior wave problems." Commun. Numer. Meth. Engng Vol. 24, pp. 257–279.

[[1]]. Chongmin Song, (2009). "The scaled boundary finite element method in structural dynamics." Int. J. Numer. Meth. Engng, Vol. 77, pp. 1139–1171

[[1]]. Carolin Birk, Chongmin Song. (2009). "A continued-fraction approach for transient diffusion in unbounded medium. "Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 198, pp. 2576–2590.

[[1]]. Chongmin Song, Francis Tin-Loi, Wei Gao. (2010). "A definition and evaluation procedure of generalized stress intensity factors at cracks and multi-material wedges. "Engineering Fracture Mechanics, Vol. 77, pp. 2316–2336.

[[1]]. Birk, Chongmin Song. (2010). "A local high-order doubly asymptotic open boundary for diffusion in a semi-infinite layer "Journal of Computational Physics Vol. 229 , pp. 6156–6179.

[[1]]. Chongmin Song, Francis Tin-Loi, Wei Gao. (2010). "Transient dynamic analysis of interface cracks in anisotropic biomaterials by the scaled boundary finite-element method." International Journal of Solids and Structures, Vol. 47 , pp. 978–989.

[[1]]. Bazyar M.H and Graili A. "A Practical and Efficient Numerical Scheme for the Analysis of Steady State Unconfined Seepage Flows”, International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, In Press, 2011.

[[1]]. Bazyar M.H and Graili A. "Scaled oundary finite-element solution to confined seepage problems”, Journal of Computational Methods in Engineering, in Press, 2011. (In Farsi)

[[1]]. Kausel, E. (1988). "Local transmitting boundaries." Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 114:1011.1027.

[[1]]. Najib Bouaanani, Benjamin Miquel. (2010). "A New Formulation and Error Analysis for Vibrating Dam–Reservoir Systems with Upstream Transmitting Boundary Conditions. "Journal of Soundand Vibration,Vol. 329,pp. 1924–1953.

[[1]]. Wolf, J. P. and Song, C. (1996). "Finite-Element Modelling of Unbounded Media. "John Wiley & Sons, Chichester.

[[1]]. Press, W. H., Flannery, B. P., A., T. S., and Vetterling, W. T. (1988). Numerical Recipes, chapter 15. Cambridge University Press, Cambridge.

[[1]]. Song Ch. Weighted block-orthogonal base functions for static analysis of unbounded domains. Proceedings of the 6th World Congress on Computational Mechanics, Beijing, China, 5–10 September 2004; 615–620.

[[1]]. Song Ch. Dynamic analysis of unbounded domains by a reduced set of base functions. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering 2006; 195:4075–4094.

[[1]]. Song Ch. A matrix function solution for the scaled boundary finite-element equation in statics. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering 2004; 193:2325–2356.

[[1]]. Chopra, A. K. (1995). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering. Prentice-Hall, New Jersey.

[[1]]. Bazyar, M. H. and Song, C. (2007). A continued-fraction based high-order transmitting boundary for wave propagation in unbounded domains. International Journal for Numerical Methods in Engineering, in press.

[[1]]. Song, C. and Bazyar, M. H. (2007a). A boundary condition in Padé series for frequency domain solution of wave propagation in unbounded domains. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 69:2330-2358.