پایان نامه انواع جریان

فصل اول

مقدمه

1-1  جدايش جريان

محدوده مقادير لزجت در سيالات مختلف بسيار وسيع است. مثلاً لزجت هوا در فشارها و درجه حرارت­های معمول، نسبتاً کوچک است. اين مقدار كوچك لزجت در بعضی شرايط، نقش مهمی در توصيف رفتار جريان ايفا می­کند. يکی از اثرات مهم لزجت سيالات در تشکيل لايه­ مرزی[1] است.

جريان سيالی که بر روی يک سطح صاف و ثابت حرکت می­کند را در نظر بگيريد. به تجربه ثابت شده است که سيال در تماس با سطح به آن می­­چسبد (شرط عدم لغزش[2]). اين پديده باعث می­شود که حرکت سيال در يک لايه نزديک به سطح کند شود و ناحیه­ای به ­نام لايه ­­­مرزی بوجود می­آید. در داخل لايه مرزی سرعت سيال از مقدار صفر در سطح به مقدار کامل خود افزايش    می­يابد، که معادل سرعت جريان در خارج از اين لايه است. بعبارت ديگر، در لايه ­مرزي سرعت افقي در امتداد عمود بر سطح تغيير مي­كند، كه اين تغييرات در نزديكي سطح بسيار شديد است. يک نمونه از توزيع سرعت در لايه مرزی تشكيل شده بر روي سطح يك جسم در شکل 1-1 نشان داده شده است.

شکل 1-1  نمايش توزيع سرعت در لايه ­مرزی تشکيل شده بر روی سطح يک جسم

لايه ­مرزي نزديك يك صفحه تخت در جريان موازي با زاويه صفر نسبت به امتداد جسم،  بعلت اينكه فشار استاتيكي در كل ميدان جريان ثابت باقي مي­ماند، نسبتاً ساده است. از آنجا كه خارج از لايه­ مرزي سرعت ثابت باقي مي­ماند و همچنين به خاطر اينكه در جريان بدون اصطكاك معادله برنولي معتبر است، فشار نيز ثابت باقی خواهد ماند. بنابراين فشار در امتداد لايه ­مرزي هم اندازه با فشار در خارج از لايه ­مرزي، ولي در فواصل مشابه است. بعلاوه در فاصله x مشخص از ابتدای صفحه، فرض مي­شود كه فشار در امتداد ضخامت لايه ­مرزي ثابت باقي مي­ماند. اين اتفاق بطور مشابه براي هر جسمي با شكل دلخواه، زماني كه فشار خارج لايه ­مرزي در امتداد طول جسم تغيير كند نيز رخ مي­دهد. بعبارتي مي­توان گفت فشار خارجي بر لايه­ مرزي اثر مي­گذارد. بنابراين براي حالتي كه جريان عبوري از يك صفحه تخت داريم، فشار در سرتاسر لايه ­مرزي ثابت باقي    مي­ماند.

دو اثر بسيار مهم در جريان سيال، اثرات اينرسی و لزجت است. رابطه بين اين دو اثر با يکديگر مشخص کننده نوع جريان است. اين رابطه بصورت پارامتر بدون بعد Re يا عدد رينولدز که برابر با اندازه نسبت نيروهای اينرسی به لزجتي است، تعريف می­شود. نسبت نيروی اينرسی به نيروی لزجت براي يك المان سيال با بعد سطح، به وسيله رابطه زير که همان عدد رينولدز است تعريف می­شود:

     (1-1)                                                                     

بنابراين وقتي عدد رينولدز بزرگ است، اثرات اينرسي حاکم می­شود و زماني که کوچک است، اثرات لزجت قوی­تر است. شايان ذکر است که مفهوم عدد رينولدز در رابطه با مرزها که بر جريان اثر می­گذارد، يک كميت موضعی است، بعبارتی انتخاب­­های مختلف طول مشخصه L در محاسبه عدد رينولدز، منجر به مقادير مختلفی برای اين پارامتر خواهد شد. بنابراين جريان بر روی يک جسم ممکن است که محدوده وسيعی از اعداد رينولدز را شامل شود که بستگی به محلی دارد که مطالعه بر روی آن انجام می­شود. بنابراين در بحث جريانی که از روی يک جسم عبور می­کند، معمولاً  طول مشخصه L بگونه­ای انتخاب می­شود که نمايانگر يک بعد کلی از جسم باشد.

اگر حركت ذرات سيال موجود در لايه مرزی به اندازه کافی به وسيله نيروهای اصطكاكي کاهش يابد، جدايش[3] جريان بوجود می­آيد. بعبارتی ديگر می­توان گفت، جدايش جريان بدليل كاهش زياد اندازه حركت يا مومنتوم جريان نزديك ديوار اتفاق مي­افتد. مي­توان با يك بحث هندسي در خصوص مشتق دوم سرعت u روي ديوار،  پديده جدايي جريان را تجزيه و تحليل كرد.[1]

معادله بقاي مومنتوم در لايه ­مرزي در امتداد محور x بصورت زير است:

     (1-2)                                                                 با توجه به شرط­ مرزی عدم لغزش سيال روي صفحه تخت در، خواهيم داشت،،  شرط ­مرزي در جريان­هاي آرام و متلاطم را مي­توان چنين نوشت:

     (1-3)                                                                                        

بطور كلي هر المان سيال تحت تأثير دو عامل قرار مي­گيرد، يكي نيروي لزجت كه هميشه با حركت سيال مخالفت مي­كند و سرعت المان سيال را كاهش مي­دهد، دیگری نيروي فشاري كه بسته به اينكه گراديان فشار، ، مثبت يا منفي باشد با حركت المان سيال مخالفت يا به پيشروي آن كمك مي­كند.

براي گراديان فشار صفر، ، مشتق دوم سرعت با توجه به رابطه (1-3) در ديوار صفر است، سپس با توجه به اينكه مشتق اول در ديوار حداكثر است و با افزايش y كاهش مي­يابد، مشتق دوم براي y مثبت بايد منفي باشد، زيرا منفي بودن مشتق دوم سرعت به معني كاهش  و در نتيجه نزديك شدن u به U است. شكل 1-2-الف اين شرايط را نشان مي­دهد.

اگر گراديان فشار منفي باشد، ، به اين گراديان فشار، گراديان مطلوب فشار گفته مي­شود. منفي بودن گراديان فشار منجر به مثبت شدن ، يعني افزايش سرعت جريان آزاد در طول جريان مي­شود. شيب توزيع سرعت نزديك ديواره بزرگ است و در امتداد y كاهش مي­يابد و مشتق دوم در نزديك ديواره و در لايه ­مرزي منفي است. براي  نتيجه مي­شود که ، اندازه حركت نزديك ديوار نسبت به مومنتوم در حالت ، بزرگتر است، همانطور كه در شكل 1-2- ب نشان داده شده است.

شکل 1-2   نمايش توزيع سرعت و مشتق­های اول و دوم آن در لايه ­مرزی تشکيل شده بر روی سطح يک جسم،  الف)  ب)  ج)  د)، [1]

اكنون فرض كنيد گراديان فشار مثبت باشد، ، به اين گراديان فشار، گراديان نامطلوب فشار (گراديان فشار معكوس) گفته مي­شود. زيرا وجود گراديان فشار مثبت سبب بروز مواردي مثل افزايش افت انرژي يا افزايش نيروي پسا يا نيروي مقاوم اصطكاكي مي­شود. از رابطه (1-3) در نتيجه مي­شود که . لذا شيب سرعت حوالي ديواره در امتداد y افزايش مي­يابد. شكل 1-2-ج و 1-2-د اين شرايط را نشان مي­دهد. در اين­حالت مي­توان گفت كه نيروي فشاري با حركت المان­هاي سيال مخالفت مي­كند و در نتيجه سرعت سيال كم مي­شود.

اگر گراديان نامطلوب فشار در امتداد جريان ادامه يابد شكل(1-2- د)، در اين صورت گراديان سرعت روي سطح برابر صفر مي­شود،  و اين نقطه را مي­توان نقطه جدايي[4] ناميد. در اين نقطه تنش برشی روی ديوار صفر است،  و اصطلاحاً جدايي جريان اتفاق مي­افتد. در اين شرايط جريان نزديك ديوار نخست متوقف و سپس در جهت عكس جريان اصلی حرکت مي­کند. بصورت خلاصه مي­توان گفت كه گراديان نامطلوب فشار و تنش برشي، اندازه حركت در لايه ­مرزي را كاهش داده و اگر هر دو اثر در يك مسافت لازم عمل كنند، سبب مي­شود كه لايه­ مرزي متوقف شود. اين پديده را جدايي مي­نامند. بنابراين از آنچه گفته شد مي­توان نتيجه گرفت كه شرط وقوع جدايي تنها مي­تواند در ناحيه گراديان نامطلوب فشار رخ دهد. با اين همه بايد به خوبي روشن شده باشد كه وجود گراديان نامطلوب فشار يك شرط لازم و نه يك شرط كافي براي جدايي است. بعبارتي ديگر مي­تواند گراديان نامطلوب فشار وجود داشته باشد بدون جدايي و اين در حالي است كه جدايي بدون گراديان نامطلوب فشار نمي­تواند رخ دهد.

1-2  نحوه تشكيل و پخش گردابه

گراديان فشار نامطلوب به همراه وجود اثرات لزجت باعث ايجاد جدايش جریان مي­شود. برای مثال زمانی که جريان بر روی يك جسم گوشه­دار حرکت کند (شکل 1-3 را ببينيد)، باعث جدايش جريان می­شود.

مطالعه و بررسي ويژگي­هاي جريان و انتقال حرارت حول سيلندرهايي با مقطع مربعي، از جمله مسائل مرتبط با عبور جريان سيال حول اجسام با گوشه­هاي تيز است. اين سيلندرهاي مربعي كه در مقابل جريان قرار دارند، جزء اجسام جريان­بند[5] محسوب مي­شوند. بطور كلي به هر شئ كه مقطع مقابل جريان بزرگ داشته باشد و راه جريان را بند آورده و يك ناحيه ويك[6] وسيع ايجاد كند، جسم جريان­بند گويند. شكل 1-4 نحوه قرارگيري يك جسم جريان­بند با مقطع مربعي را در برابر جريان نشان مي­دهد.

با وجود هندسه نسبتاً ساده اجسام جريان­بند، الگوی جريان حول اين اجسام پديده  پيچيده­اي است. بهمين علت جريان بيشتر حول اجسام جريان­بند با سطح مقطع­های ساده از قبيل مقاطع دايره­ای و مربعی دو­بعدی بررسی می­شود. جريان حول اين اجسام با جدا شدن از سطوح جسم، باعث ايجاد ناحيه ويك بزرگي در جريان­ پايين­دست مي­شود. همچنين لايه­هاي جدا شده توليد گردابه­هايي منفصل در ناحيه پشت جسم مي­كنند. اين گردابه­ها می­توانند مکش­های بسيار زياد در نزديک نقاط جدا شده مانند، گوشه­ها و برآمدگي­ها ايجاد کنند. وقتی جريان بر روی جسم در نقطه­ای جدا شود، ناحيه پشت جسم شامل اثرات ناشی از تشکيل گردابه می­شود. بطور کلی   جريان اطراف اجسام جريان ­بند، اغلب شامل پديده ­هاي پيچيده­اي از قبيل جریان ­های برشی،

شکل 1-3  جدا شدگی جريان در اطراف يك جسم گوشه­دار

شکل 1-4  نحوه قرارگيري يك جسم جريان­بند با مقطع مربعي در مقابل جريان

جدايش جريان، ويك، جريان گردابه­اي و پخش گردابه[7] است. گردابه­ها از سطوح جلويی جسم جريان­بند شروع به تشکيل شدن کرده و با رشد لايه­های برشی، از جسم جدا شده و گردابه­های بزرگی را در جريان پايين­دست توليد می­کنند. قسمت داخلی لايه ­برشی ايجاد شده روی جسم، با سرعت بسيار کمتری نسبت به لايه­های خارجی که تحت تأثير جريان آزاد قرار دارد، حرکت    می­کند. بدين علت لايه­های برشی به شکل گردابه­هايی در آمده و در جريان پخش می­شوند. به اين جدايش جريان که از سطوح بالايی و پايينی جسم رخ مي­دهند و گردابه­هايی که به صورت يکی در ميان از اين سطوح جدا شده و در جريان پخش می­شوند، پديده پخش گردابه گويند. اين پديده ناپايدار با افزايش عدد رينولدز[8] قوي­تر می­شود. در شکل 1-5 پدیده پخش گردابه از اجسام جریان­بند با سطح مقطع­های دایره­ای و مربعی نشان داده شده است. نخستين مشاهده ثبت شده از پديده پخش گردابه توسط لئوناردو داوينچي در قرن شانزدهم بوده است، زماني كه يك رديف دوتايي از گردابه، در اطراف جسم جريان­بند را رسم كرد‌‌[2].

[1]. Boundary Layer

[2]. No-Slip Condition

[3]. Separation

[4].  Separation Point

[5]. Bluff Body

2. ناحيه كم فشار بوجود آمده در پشت جسم جريان­بند را، ناحيه ويك (wake) مي­نامند.

[7]. Vortex Shedding

1. در اينگونه مسائل، عدد رينولدز بصورت  تعريف می­شود که در آن d پهنای تصوير شده جسم در مقابل جريان است.

---

فهرست منابع

[1] نادر نبهاني، مكانيك سيالات، تهران، دانشگاه صنعتي شريف، مؤسسه انتشارات علمي، 1380

[2‍] محمود يحيايي، اثر باد بر سازه ها به انضمام آيين نامه باد ASCE-1996، دانشگاه صنعتي خواجه نصيرالدين طوسي، 1378

[3] E. Simiu and R.H. Scanlan, Wind effect on structures, 3th edition, Wiley Interscience,

      New York, 1996

[4] V. Strouhal, Über eine besondere Art der Tonerregung, Ann. Physik und Chemie, Neue

      Folge, vol. 5, pp.216-251, 1878.

[5] A. Sohankar, C. Norberg and L. Davidson, Numerical Simulaion of Unsteady Flow

      Around a Square Two-Dimensional Cylinder, In. Proc. 12th Australasian Fluid Mechanics

      Conference, R.W.Bilger (Ed.),pp.517-520, The University of Sydney, Australia,

      Dec.1995.

[6] K. M.Kelkar and E. F. Patankar, Numerival Prediction of Vortex Shedding behind a

      Square Cylinder, Int. J. Numer. Meth. In Fluids, vol. 14, page 327, 1992.

[7] A. Sohankar, C. Norberg and L. Davidson, Numerical Simulaion of Unsteady Flow

      around Rectangular Cylinders at Incidence, J. of Wind Eng. Ind. Aerodyn., vol.69-71, pp.

      189-201, 1997

[8] A. Sohankar, C. Norberg and L. Davidson, Low-Reynolds-Number Flow aroud a Square

      Cylinder at Incidence:Study of Blockage,Onset of Vortex Shedding and Outlet Boundary

      Condition, Int. J. for Numer. Meth. In Fluids, vol.26, pp.39-56, 1998.

[9] A. Sohankar, C. Norberg and L. Davidson, Numerical Simulation of Flow past a Square

      Cylinder, 3rd ASME/JSME Joint Fluids Eng. Conference, San Francisco, California,

      USA, July 1999.

[10] B.S.V. Patnaik, P.A.A. Narayana and K.N. Seetharamu, Finite Element Simulation of

        Transient Laminar Flow Past a Circular Cylinder and Two Cylinders in Tandem

        Influence of Buoyancy, Int. J. Numer. Methods for Heat and Fluid Flow, vol. 10, No. 6, pp. 560-580, 2000.

[11] A.Sohankar, A Numerical Investigation of the Unsteady Wake Flow of Circular

        Cylinders, 10th Annual Int. Mech. Eng. Conference, knt uni., Tehran, Iran, 2002.

[12] A. Sharma and V. Eswaran, Heat and Fluid Flow Across a Square Cylinder in the Two-Dimensional Laminar Flow Regime, Numer. Heat Transfer, Part A, vol. 45, pp. 247-269, 2004.

[13] L. Zhou, M. Cheng and K.C. Hung, Suppression of Fluid Force on a Square Cylinder by Flow Control, J. of Fluids and Structures, vol. 21, pp. 151-167, 2005.

[14] A. Wietrzak and D. Poulikakos, Turbulent Forsed Convective Cooling of Microelectronic Devices, Int. J. Heat and Fluid Flow, vol. 11, No. 2, June 1990.

[15] G. Bosch and W. Rodi, Simulation of Vortex Shedding past a Square Cylinder Near a Wall, Int. J. Heat and Fluid Flow, vol. 17, pp. 267-275, 1996.

[16] G. Bosch and W. Rodi, Simulation of Vortex Shedding past a Square Cylinder with Different Turbulence Models, Int. J. for Numer. Meth. in Fluids, vol. 28, pp.601-616, 1998.

[17] A. Sohankar, L. Davidson and C .Norberg, A Dynamic one Equation Subgrid Model for Simulation of Flow around a Square Cylinder, Eng. Turbulence Modelling and Experiments, vol.4, pp.227-236, 1999.

[18] A. Valencia and C. Orellana, Simulation of Turbulent Flow and Heat Transfer around Rectangular Bars, Int. Comm. Heat Mass Transfer, vol.26, No.6, pp.869-878, 1999.

[19] E.R. Meinders and K. Hanjalić, Vortex Structure and Heat Transfer in Turbulent Flow over a Wall-Mounted Matrix of Cubes, Int. J. of Heat and Fluid Flow, vol. 20, pp. 255-267, 1999.

[20] Jerry M. Chen and Chia-Hung Liu, Vortex Shedding and Surface Pressures on a Square Cylinder at Incidence to a Uniform Air Stream, Int. J. of Heat and Fluid Flow, vol. 20, pp. 592-597, 1999.

[21] Tetsuro Tamura and Tetsuya Miyagi, The Effect of Turbulence on Aerodynamic Forces on a Square Cylinder with Various Corner Shapes, J. Wind Eng. Ind. Aeridy. , vol. 83, pp. 135-145, 1999.

[22] M. Matsumoto, Vortex Shedding of Bluff Bodies:A Review, J. Fluid and Structures, vol. 13, pp. 791-811, 1999.

[23] Alvaro Valencia, Turbulent Flow and Heat Transfer in a Channel with a Square Bar Detached from the Wall, Numerical Heat Transfer, Part A, vol. 37, pp. 289-306, 2000,

[24] A. Sohankar, L. Davidon and C. Norberg, Large Eddy Simulation of Flow Past a Square Cylinder:Comparison of Different Subgrid Scale Model, Journal of Fluids Engineering, vol. 122, 39-47, 2000.

[25] C. Norberg, Flow Around a Circular Cylinder:Aspects of Fluctuating Lift, Journal of Fluids and Structures, vol. 15, pp.459-469, 2001.

[26] Günter Schewe, Reynolds-Number Effects in Flow Around more-or less Bluff Bodies, J. Wind Eng. Ind. Aerody. , vol. 89, pp. 1267-1289, 2001.

[27] K. Shimada and T. Ishihara, Application of a Modified κ – ε Model to the Prediction of Aerodynamic Charateristics of Rectangular Cross-Section Cylinders, Journal of Fluids and Structurs, vol. 16, pp. 465-485, 2002.

[28] M. Sarioglu and T. Yavuz, Subcritical Flow Around Bluff Bodies, AIAA, vol. 40, No. 7, pp.1257-1268, 2002.

[29] Md. Mahbub Alam, H. Sakamoto and M. Moriya, Reduction of Fluid Forces Acting on a Single Circular Cylinder and Two Circular Cylinders By Using Tripping Rods, Journal of Fluids and Structures, vol. 18, pp. 347-366, 2003.

[30] C. Norberg, Fluctuating Lift on a Circular Cylinder:Review and New Measurements, Journal of Fluids and Structures, vol. 17, pp. 57-96, 2003.

[31] Do-Hyeong Kim, Kyung-Soo Yang and Mamoru Senda, Large Eddy Simulation of Turbulent Flow Past a Square Cylinder Confined an a Channel, Computers & Fluids, vol. 33, pp. 81-96, 2004.

[32] A. Sohankar, Flow Over a Bluff Body from Moderate to High Reynolds Nimbers Using Large Eddy Simulation, Computers & Fluids, 2005.

[33] K. Tatsutani, R. Devarakonda and J. A. C. Humphrey, Unsteady Flow and Heat Transfer for Cylinder Pairs in a Channel, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 13, No. 13, pp. 3311-3328, 1993.

[34] A. Valencia, Unsteady Flow and Heat Transfer in a Channel with a built-in Tandem of Rectangular Cylinders, Numer. Heat Transfer, Part A, vol. 26, pp. 613-623, 1996.

[35] A. Valencia, Numerical Study of Self-Sustained Oscillatory Flows and Heat Transfer in Channels with a Tandem of Transverse Vortex Generators, Heat and Mass Transfer, vol. 33, pp.465-470, 1998.

[36] J.R. Meneghini, F. Saltara, C.L.R. Siqueira and J.A. Ferrari Jr, Numerical Simulation of Flow Interference Between Two Circular Cylinders in Tandem and Side-By-Side Arrangements, Journal of Fluids and Structures, vol. 15, pp. 327-350, 2001.

[37] J. L. Rosales, A. Ortega and J. A. C. Humphrey, A Numerical Simulation of the Convective Heat Transfer in Confined Channel Flow past Square Cylinders: Comparison of Inline and Offset Tandem Pairs, Int. J. of Heat and Mass Transfer, vol. 44, pp. 587-603, 2001.

[38] J. Mizushima and T. Akinaga, Vortex Shedding from a Row of Square Bars, Fluid Dynamics Research, vol. 32, pp. 179-191, 2003.

[39] A. Agrawal, L. Djenidi and R.A. Antonia, Investigation of Flow Around a Pair of Side-By-Side Square Cylinders using the Lattice Boltzmann Method, Computers & Fluids, vol.XX, pp. XXX-XXX, 2005.

[40] B. Sharman, F.S. Lien, L. Davidson and C. Norberg, Numerical Predictions of Low Reynolds Number Flows Over Two Tandem Circular Cylinders, Int. J. Numer. Meth. Fluids, vol. 47, pp. 423-447, 2005.

[41]  G.X. Wu and Z.Z. Hu, Numerical Simulation of Viscous Flow Around Unrestrained Cylinders, Journal of Fluid and Structures, vol. 22, pp. 371-390, 2006.

[42] P. T. Y. Wong, N. W. M. Ko and A. Y. W. Chiu, Flow Characterisics around Two Parallel Adjacent Square Cylinders of Different Sizes, J. of Wind Eng. Ind. Aerodyn., vols.54/55, pp.263-275, 1995.

[43] J. Alvarez, M. Pap and A. Valencia, Turbulent Heat Transfer in a Channel with Bars in Tandem and in side by side arrangements, Int. J. of Numer. Meth. For Heat & Fluid Flow, vol. 10, No. 8, pp.877-895, 2000.

[44] B. Niceno, A. D. T. Dronkers and K. Hanjalic, Turbulent Heat Transfer from a multi-layered wall-mounted Cube Matrix:a Lage Eddy Simulation, Int. J. of Heat and Fluid Flow, vol.23, pp.173-185, 2002.

[45] A.  Valencia and M.Cid, Turbulent Unsteady Flow and Heat Transfer in Channels with Periodically Mounted Square Bars, Int. J. of Heat and Mass Transfer, vol. 45, pp.1661-1673, 2002.

[46] J.C. Lin, Y. Yang and D. Rockwell, Flow Past Two Cylinders in Tandem:Instantaneous and Averaged Flow Structure, Journal of Fluids and Structures, vol. 16, No. 8, pp. 1059-1071, 2002.

[47] Chia-Hung Liu and Jerry M. Chen, Observation of Hysteresis in Flow around Two Square Cylinders in a Tandem Arrangement, J. of Wnd Eng. Ind. Aerodyn., vol. 90, pp. 1019-1050, 2002.

[48] Md. Mahbub Alam, M. Moriya, K. Takai and H. Sakamoto, Suppression of Fluid Forces Acting on Two Square Prismes in a Tandem Arrangement by Passive Control of Flow, Journal of Fluids and Structures, vol.16, No. 8, pp. 1073-1092, 2002.

[49] Md. Mahbub Alam, M. Moriya and H. Sakamoto, Aerodynamic Characteristics of Two Side-By-Side Circular Cylinders and Application of Wavelet Analysis on the Switching Phenomenon, Journal of Fluids and Structures, vol. 18, pp. 325-346, 2003.

[50] Md. Mahbub Alam, M. Moriya, K. Takai and H. Sakamoto, Fluctuating Fluid Forces Acting on Two Circular Cylinders in a Tandem Arrangement at a Subcritical Reynolds Number, J. Wind Eng. Ind. Aerody., vol. 91, pp. 139-154, 2003.

[51] Md. Mahbub Alam and H. Sakamoto, Investigation of  Strouhal Frequencies of Two Staggered Bluff Bodies and Detection of Multistable Flow by Wavelets, Journal of Fluids and Structures, vol. 20, pp. 425-449, 2005.

[52] Md. Mahbub Alam, H. Sakamoto and Y. Zhou, Determination of Flow Configurations and Fluid Forces Action on Two Staggered Circilar Cylinders of Equal Diameter in Cross-Flow, Journal of Fluids and Structures, vol. 21, pp. 363-394, 2005.

[53] Md. Mahbub Alam, H. Sakamoto and Y. Zhou, Effect of T-Shaped Plate on Reduction in Fluid Forces on Two Tandem Cylinders in a Cross-Flow, J. Wind Eng. Ind. Aerody., vol. 94, pp. 525-551, 2006.

[54] David C. Wilcox, Turbulence Modeling for CFD, Griffin Printing, Glendale, California, 1993.

[55] W. Jones and B. Launder, The Prediction of Laminarization with a Two-Equation Model of Turbulence, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 15, pp. 301-314, 1972.

[56] S.V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, McGraw-Hill, New York, 1980

[57] Versteeg and Malalasekera, An Introduction to Computational Fluid Dynamics,

[58] J.E. Thompson, Z.U.A. Warsi and C.W. Mastin, Numerical Grid Generation, Foundation and Applications, Notrh-Holland, 1985

[59] D.B. Spalding, A General Purpose Computer Program for Multi-Dimensional One- and Two-phase Flow, Mathematics and Computers in Simulation, IAMCS, XX111, pp. 267, 1981.

[60] C.L.V. Jayatillaka, Progr. In Heat Mass Transfer, vol. 1, pp. 193, 1969.

[61] J. Robichaux, S. Balachandar and S.P. Vanka, Three-Dimensional Floquet Instability of the Wake of Square Cylinder, Phys. Fluids, vol. 11, pp. 560-578, 1999.

[62] Y. Shimizu and Y. Tanida, Fluid Forces Acting on Cylinders of Rectangular Cross Section, Trans. Jpn. Soc. Mech. Eng. B, vol. 44, pp. 2699-2706, 1978

[63] R. Franke, W. Rodi and B. Schönung, Numerical Calculation of Vortex Shedding Flow past Cylinders, J. Wind Eng. Ind. Aerodyn., vol. 35, pp. 237-257, 1990